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递推关系是用前一项或前几项来表示当前项的数学关系式。形式为 \( u_{n+1} = f(u_n) \) 或 \( u_{n+1} = f(u_n, u_{n-1}, \ldots) \)。
递推关系的一般形式：\( u_{n+1} = f(u_n) \)
其中：f 是函数，u_n 是第 n 项
线性递推关系：\( u_{n+1} = au_n + b \)
二次递推关系：\( u_{n+1} = au_n^2 + bu_n + c \)
指数递推关系：\( u_{n+1} = a \cdot u_n \)
分式递推关系：\( u_{n+1} = \frac{au_n + b}{cu_n + d} \)
题目：求下列数列的前四项。
a) \( u_{n+1} = u_n + 4, u_1 = 7 \)
b) \( u_{n+1} = u_n + 4, u_1 = 5 \)
解答：
a) \( u_1 = 7, u_2 = 11, u_3 = 15, u_4 = 19 \)
b) \( u_1 = 5, u_2 = 9, u_3 = 13, u_4 = 17 \)
注意：相同的递推公式，不同的初始条件产生不同的数列。
题目：数列定义为：
\( a_1 = p \)
\( a_{n+1} = (a_n)^2 - 1, n \geq 1 \)
其中 \( p < 0 \)。
a) 证明 \( a_3 = p^4 - 2p^2 \)
b) 给定 \( a_2 = 0 \)，求 p 的值
解答：
a) \( a_2 = p^2 - 1 \)
\( a_3 = (p^2 - 1)^2 - 1 = p^4 - 2p^2 \) ✓
b) \( p^2 - 1 = 0 \)，所以 \( p = -1 \)
题目：数列定义为递推关系：
\( u_{n+1} = pu_n + q, u_1 = 2 \)
给定 \( u_2 = -1 \) 且 \( u_3 = 11 \)，求 p 和 q 的值。
解答：
\( 2p + q = -1 \) ... (1)
\( -p + q = 11 \) ... (2)
联立求解：\( p = -4, q = 7 \)
求下列递推关系的前四项：
a) \( u_{n+1} = u_n + 3, u_1 = 1 \)
b) \( u_{n+1} = 2u_n, u_1 = 3 \)
c) \( u_{n+1} = 2u_n + 1, u_1 = 2 \)
a) 1, 4, 7, 10
b) 3, 6, 12, 24
c) 2, 5, 11, 23
为下列数列建议可能的递推关系：
a) 3, 5, 7, 9, ...
b) 1, 2, 4, 8, ...
c) 1, -1, 1, -1, 1, ...
a) \( u_{n+1} = u_n + 2, u_1 = 3 \)
b) \( u_{n+1} = 2u_n, u_1 = 1 \)
c) \( u_{n+1} = -u_n, u_1 = 1 \)
数列定义为递推关系 \( u_{n+1} = ku_n + 2 \)，其中 k 是常数。给定 \( u_1 = 3 \)：
a) 用 k 表示 \( u_2 \)
b) 给定 \( u_3 = 42 \)，求 k 的可能值
a) \( u_2 = 3k + 2 \)
b) \( k = \frac{10}{3} \) 或 \( k = -4 \)
递推关系有规律，前项决定后一项
初始条件不可少，首项确定数列全
线性二次要分清，指数分式要记牢
建立关系看规律，求解参数靠方程
验证答案要仔细，递推思维很重要